Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Wir haben ja in der letzten Vorlesung über stetige Funktionen gesprochen

und hier sehen Sie ein Beispiel einer stetigen Funktion. Das kennen Sie gut,

das Sinus von 2px. Die Funktion hat ja Werte zwischen minus eins und eins und das ist eine

ungerade Funktion, die ist 2p-periodisch, also das geht da weiter. In der letzten Vorlesung hatten

wir einen Satz über die Verknüpfung stetiger Funktionen und der Satz sagt aus, wenn Sie zwei

stetige Funktionen hintereinander schalten, dann kommt wieder eine stetige Funktion heraus.

Vorausgesetzt natürlich, das ist definiert. Hier haben wir ja Werte zwischen minus eins und eins

und wenn Sie das wieder in den Sinus einspeisen, dann kommt Folgendes heraus als Verkettung. Das

ist also Sinus von 2px, an der Stelle Sinus 2px. Also da kommt dann so ein hintereinander geschalteter

Sinus heraus und Sie sehen, das sieht dann schon viel komplizierter aus, aber das ist immer noch

eine stetige Funktion nach dem Satz. Sinus von 2px nimmt ja Werte zwischen minus eins und eins an

und wenn Sie das dann hier einspeisen, dann geht das von minus 2p bis plus 2p, da haben Sie also auf

einmal zwei Perioden, die da rein spielen und das können Sie auch wieder F von X nennen und dieses

F von X können Sie auch wieder in sich selbst einsetzen und dann sieht das Ganze schon wesentlich

komplizierter aus. Dann haben Sie F von F von X und da sind dann viermal diese Sinusfunktionen

miteinander verknüpft und da sieht man, dass das Verhalten schon gar nicht mehr so übersichtlich ist.

Also auch stetige Funktionen können sehr viele verschiedene Verhaltensweisen zeigen, die können

schon durchaus komplizierte Strukturen haben, aber lokal kann man eben immer dieser Linie nachfolgen,

ohne dass da irgendein Sprung auftritt. Hier häufen sich ja die Oszillationen so an einzelnen

Stellen, aber wenn man nahe genug rangeht, das stark genug vergrößert, dann ist das immer nur

so eine Linie, die verläuft, so wie hier. Nur das Gesamtverhalten der Funktion zeigt diese

komplizierte Struktur und hier die Funktionen können Sie natürlich auch wieder in sich einsetzen und

dann erhalten Sie aber nur noch eine blaue Fläche an manchen Stellen, weil diese Striche ja natürlich

ziemlich dick sind und wenn das stark oszilliert, dann sieht man nichts mehr. Gut, so viel zur

Anschauung. Sie erinnern sich ja an die Definition der stetigen Funktion, das war so eine Epsilon-Delta

Funktion. Für alle Epsilon größer 0 findet man ein Delta von Epsilon, sodass für alle x mit x

minus x null kleiner als Delta von Epsilon gilt f von x minus f von x null im Betrag kleiner als Epsilon, also

eine klassische Epsilon-Delta Definition. Stetige Funktionen kann man auch anders charakterisieren

und zwar unter Verwendung der Folgengrenzwerte, über die wir davor gesprochen hatten in dem

Abschnitt. Stetige Funktionen sind hier das Thema. Wir betrachten jetzt die Charakterisierung mit

Folgengrenzwerten.

Es geht ja bei der Stetigkeit darum, dass wenn man lokal um einen Punkt x null auf der x-Achse

variiert, dass sich dann die Werte der Funktion auch nur wenig verändern und dazu betrachten wir

im folgenden Satz Punkt Folgen xn auf der x-Achse, die gegen den Punkt x null konvergieren, wo wir die

Stetigkeit untersuchen. Also hier haben wir dann so eine Folge xn und die konvergiert gegen x null

für n gegen unendlich. Zu dieser Folge von xn gehören ja Funktionswerte. Also hier hat man dann

entsprechend eine Folge der Funktionswerte f von xn und zu dem x null gehört ein Funktionswert f von x

null und bei stetigen Funktionen konvergiert dann die Folge der Funktionswerte f von xn gegen f von x

null. Das ist also die Charakterisierung durch Folgen und dabei kann die Folge xn beliebig gewählt

werden. Das muss also für alle Folgen xn gelten, wo die xn im Definitionsbereich von f liegen und

die gegen x null konvergieren. Also die Funktion f von der Menge d nach r ist stetig in x null Element d

genau dann, wenn gilt für jede Folge xn, ein Element n mit Punkten xn aus d für alle n aus n.

Und Grenzwert Liemes für n gegen unendlich xn gleich x null gilt der Grenzwert der Funktionswerte

Liemes für n gegen unendlich von f von xn ist gleich f von x null. Man kann also hier auch die

Stetigkeit komplett mit Hilfe dieser Folgen Grenzwerte untersuchen. Dieser Satz heißt auch

Übertragungsprinzip, weil man damit die Grenzwertsätze, die man für die Folgen Grenzwerte hat,

auch auf die stetigen Funktionen übertragen kann. Das ist also noch mal eine anschauliche

Charakterisierung der stetigen Funktionen. In der letzten Vorlesung haben wir auch die

Einschränkung einer stetigen Funktion definiert. Dazu nimmt man eine Teilmenge des Definitionsbereichs